《Essence of Linear Algebra》系列笔记整理

​ 线性代数的本质这门课是我偶然发现的，主要从几何本质的的角度去理解香型代数，很形象，很容易去理解线性代数教材中的抽象概念，因此强推此系列课程用来辅助学习。我因为有其他安排，所以花了好几天，一天两个视频的看。其实，如果有时间，半天时间就能看完。简明而不简单！

原视频是YouTube大佬录制的，感谢3BlueBrown，他授权已经将此系列视频搬运到B站，需要的请自行检索

第00讲 序言

这一讲只是描述了线性代数的用途以及本课程的框架，没有实质的讲解，就当学英语了吧。

相关关键词	美式发音	中文翻译
Linear Algebra	/’lɪnɪɚ ældʒɪbrə/	线性代数
matrix multiplication	/’metrɪks ‘mʌltəplə’keʃən/	矩阵乘法
deteminant	/dɪ’tɝmɪnənt/	行列式
cross product	/krɔs ‘prɑdʌkt/	叉积
eigenvalue	/’aɪgən,væljuː/	特征值

应用学科	美式发音	中文翻译
Computer Science	/kəm’pjutɚ ‘saɪəns/	计算机科学
Physics	/’fɪzɪks/	物理学
Electrical Engineering	/ɪ’lɛktrɪkl ‘ɛndʒə’nɪrɪŋ/	电子工程
Mechanical Engineering	/mɪ’kænɪkəl ‘ɛndʒə’nɪrɪŋ/	机械工程
Statistics	/stə’tɪstɪks/	统计学

第01讲 向量究竟是什么

对于不同领域的学生有着不同的理解

则向量的两个基本运算：向量加法、和数量积则是最基础，最重要的运算。

Two fundamental operations:vector addition and scalar multiplication.

可形象的表示为

自己在ipad上画的。。。凑合吧

数量积就更显而易见了，就没画。

为什么v和w(加粗代表向量)要首尾相接才能相加？为什么不是尾端都在原点。

可以把自己想象成一个人，先按照v走，走完站在原地再按照w走。就很容易理解了。

第02讲 线性组合，张成的空间与基

线性组合(Linear Combination)就很好理解了，即为两个向量线性相加

基(basis of coordinate system)就是两个向量，可以是任何两个线性无关的向量。上图所示的即是其中最特殊的一个标准正交基。

向量空间（span）就是这两个基所有的 线性组合

的集合

The “span” of v and w is the set of all their linear combination av+bw ,let a,b vary over all real number.

线性相关（linear dependent）u=av+bw for some values of a and b

线性无关（linear independent）u不等于av+bw for all values of a and b

第03讲 矩阵与线性变换

Linear Transformation 就相当于一个Input vector 通过一个函数运算输出一个Output vector

线性变换有两个原则

• Lines remain lines 坐标系从直线变到直线
• origin remain fixed 原点位置不变

下面就是一个线性变换的例子，从向量u变换到u’。

其中坐标系的线性变换使基向量发生了线性变换，即变成了a 和b。按照原本的线性组合关系，u也变换到了u’。

而由变换后的基向量组成的2*2的矩阵即叫做变换矩阵

下面这两个例子也是一样。

通过这一讲就很好的理解了矩阵与向量相乘的本质，就是对其进行线性变换。

第04讲 矩阵乘法与线性变换复合

例：Composition of a rotation and a shear

一个向量进行两次线性变换，即在前面乘以两个变换矩阵。也等于在前面乘以一个只变换一次的变换矩阵。

则两个矩阵的乘法则就是两次线性变换的叠加。太神奇了！

这样的话就很好解释了为什么矩阵乘法不适用交换律

从二维的理解很快的很直观的就能推广到三维、四维等等。

第05讲 行列式

行列式对于二维方阵来说就是向量围成的平行四边形的面积，对于三维来说就是围成的平行六面体的体积。

第06讲 逆矩阵、列空间与零空间

一个变换矩阵的逆矩阵(inverse matrix)就是把这个线性变换反过来再变回来。

秩(Rank)的含义

• 若经线性变换到直线，则称这个变换矩阵秩为1
• 若经线性变换到平面，则称这个变换矩阵秩为2

列空间(column space)：不管是一条直线，一个平面，还是三维空间等，所有可能的变换结果的集合就是列空间。

The colume space is the span of the columns of your matrix

The rank is the number of dimensions in the column space.

零空间（null space or kernel）经变换后落在原点的向量的集合

附注：非方阵 nonsquare matrices

第07讲 点积与对偶性

上面表明了点积的几何意义与和其对偶的一个线性变换，即将一个向量变换到一维上。

第08讲上 叉积的标准介绍

叉积也在二维上也等于平行四边形的面积，正负代表方向。

叉积在二维上得到一个长度为平行四边形面积，方向垂直于两个向量。

这才叫灵魂画手！！！其实我想画右手定则的，哈哈哈哈

第08讲下 以线性变换的眼光看待叉积

即利用线性变换与对偶性的思想，得到了叉积该有的样子。

第09讲 基变换

即将基向量进行线性变换。主要看左下角的推导。

这里有两组基向量，一个是Standard，一个是Jennifer（只是个人名，为了区分而已）,Jennifer的基向量即不互相垂直，也不是单位向量，所以在他的基础上进行线性变换很难。

因此，先将Jennifer基向量通过线性变换到Standard标准基向量。然后再基向量坐标系下进行变换。变换完在变回Jennifer的基向量下。

有点绕，其实在视频里配合动画就很容易理解了

这就得到了相似矩阵的定义啦，相似矩阵就是为了简化这么绕的变换而生的。

第10讲 特征向量与特征值

在一个线性变换中，可能有些向量方向不会发生变化，这个向量就叫特征向量，他的长度变化倍数就是特征值。太神奇了

最重要的还是与上述基变换结合起来。

其中换基向量的变换矩阵就是特征向量组成的矩阵。得到的对角矩阵就是特征值组成的，得到对角矩阵的话如果要算一个矩阵的10000次方也轻而易举了。

第11讲 抽象向量空间

这一讲主要讲了抽象化的重要性。比如上述讲的所有东西都是基于二维或者三维矩阵的分析，怎么抽象为符号语言就是数学家干的事，其他领域的研究者则是使用这些符号语言（即公理Axioms）去进行计算。

第12讲 克莱姆法则 Cramer’s rule

也是从线性变换的角度去理解克莱姆法则

x的求解亦然

学完的感想

听大佬说这些东西是高等代数里的知识，以后还是要学学高等代数。

这个视频是英文版的，我看是听着英文，看着中英文字母尽量去听懂。但正因为他是英文版，可能语速太快有些细节我没有捕捉到，目前的理解也仅限于此，能够帮助理解很多线性代数里面的概念知识。我学习的时候也是听着自己想着去理解着，这个视频确实很不错，大佬用动画的方式非常形象的展示了向量的变化，非常有助于理解。

这篇博客的目的也仅仅是我学习完了进行了一下系统复习，都是比较笼统的总结。